Предмет: Алгебра, автор: chashin97

найдите наименьшее значения произведения P=cosxcosycos(x+y)

Ответы

Автор ответа: mathgenius

Преобразуем функцию:
P=cosx*cosy*cos(x+y)=1/2* (сos(x+y) +cos(x-y))*cos(x+y)=
1/2*(cos^2(x+y)+cos(x+y)*cos(x-y))=1/4*( (cos(2x+2y)+1+cos(2y)+cos(2x))
Возьмем производную по x и приравняем к нулю:
-1/2*(sin(2x+2y)+sin(2x))=0
sin(2x+2y)+sin2x=0
sin(2x+y)*siny=0
Очевидно что минимум будет когда:
sin(2x+y)=0
2x+y=π*n
y=π*n-2x (Тк функция симметричная то рассматривать производную по у не имеет смысла)
Это минимум функции при произвольно взятой константе y. То чтобы найти наименьшее значение всей функции,нужно найти наименьшее из наименьших значений при разных y.
И так подставляя наш результат в исходную функцию применив формулы приведения получим:
P=1/4*(1+cos2x+cos(-2x+π*n)+cos(-x+π*n))=
1/4*(1+2*cos(2x)+cos(4x))=1/4*(1+2*cos(2x)+2*cos^2(2x)-1)=
1/2*(cos^2(2x)+cos(2x))
пусть : сos(2x)=w |w|<=1
P=1/2*(w^2+w)
w^2+w-парабола с вершина wв=-1/2 |w|<1 (верно) значит в этой точке и будет минимум тк ветви идут вверх.
Откуда: min(P)=1/2*(1/4-1/2)=-1/8
Ответ:-1/8

Автор ответа: Матов

$P=cosx*cosy*cos(x+y)\$
Рассмторим треугольник $a,b,c$ , положим что он существует
Впишем углы $x;y$
По теореме косинусов выразим углы
$cosy=frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}\ cosx=frac{b^2-a^2-c^2}{-2ac}\$
$cos(x+y)=frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}$
$frac{1}{8}*frac{(c^2-a^2-b^2)(b^2-a^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)}{a^2b^2c^2}$
То есть надо найти такое число , если оно существует , что
$frac{(c^2-a^2-b^2)(b^2-a^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)}{a^2b^2c^2}$
является дробной числом,то есть переходим к нахождению минимального значения этой дроби .
Теперь
по неравенству о средних
$frac{(c^2-a^2-b^2)(b^2-a^2-c^2)(a^2-b^2-c^2)}{11} =$ $frac{a^6+b^6+c^6+a^4(-b^2-c^2)+b^4(-a^2-c^2)+c^4(-a^2-b^2)+a^2b^2c^2+a^2b^2c^2}{11}geq$ $sqrt[11]{a^{22}*b^{22}*c^{22}}=-a^2b^2c^2$
то есть получим
$min frac{1}{8}*-1=-frac{1}{8}$ , причем выполняется тогда когда $a=b=c$

Автор ответа: Матов

я когда увидел эту задачу , сразу же это м идея пришла

Автор ответа: mathgenius

Вот это да! А я когда увидел начел вломось преобразовывать пример в сумму. Но в решении с дифференцированием по одной переменной это помогает.

Автор ответа: mathgenius

И сдался :)

Автор ответа: mathgenius

Главное чтобы тут разобрался автор

Автор ответа: Матов

да

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос