Предмет: Алгебра, автор: Аноним

Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию?

Ответы

Автор ответа: Матов

Ответ НЕТ НЕ МОЖЕТ
Положим что стороны $a,b,c$ , и $a$ , тогда по неравенству треугольников и свойству геометрической прогрессии
$a^2+c^2=ac\ a+c>ac\$ что неверно

А вот для какого нибудь опреленного треугольника оно верно
Положим что $a,b,c$ стороны треугольника причем $a<b<c$ , так как в условие сказано что стороны должны составлять геометическую прогрессию $b^2=a*c\$
По неравенству треугольников
$a+sqrt{ac}>c\\ a+c>sqrt{ac}\\ c+sqrt{ac}>a$
откуда получаем что при
$a>0\ 0.5a*(3-sqrt{5})<c<0.5a*(3+sqrt{5})$
То есть существует , к примеру $a=2$ $c=3$
$b=sqrt{6}$

И они составляют геометрическую прогрессию , знаменатель которой

$q=frac{3}{sqrt{6}}$