В результате ливневых дождей единственная дорога к имению Луция, которая пролегала через соседнее имение, пришла в негодность. Луций имел право проезда по этой дороге (сервитут), поэтому он решил, что вправе потребовать от соседа, чтобы тот отремонтировал дорогу. Основательно ли?

Да, основания есть. Так как дорога единственная и у него есть сервитут,  то он имел все основания требовать ремонта: он оказался в опасности (нет возможности въезда-выезда, подъезда спецслужб в случае ЧС). А сам он дорогу ремонтировать не мог, так как территория ему не принадлежит.
Вторым вариантом решения проблемы является заключение договора с соседом, о том, что тот разрешает Луцию отремонтировать дорогу самостоятельно на каких-либо условиях (возмездно или безвозмездно).