Предмет: Алгебра, автор: ksyuksenyanov

+∞
∑ frac{3 ^{n}+(-4) ^{n}}{12^{n} }
n=1
исследовать сходимость ряда,в случае сходимости найти его сумму,пожалуйста помоги ни на кого надежды нет больше

Ответы

Автор ответа: Minsk00

исследовать сходимость ряда Σ $frac{3 ^{n}+(-4) ^{n}}{12^{n}}$ , в случае сходимости найти его сумму.
Решение:
Для исследования сходимости удобно в начале представить данный ряд как сумму двух рядов положительного и знакопеременного

Σ $frac{3 ^{n}+(-4) ^{n}}{12^{n} }= frac{3 ^{n}}{12^{n} }+ frac{(-4) ^{n}}{12^{n} }=frac{1}{4^{n} }+ frac{1}{(-3)^{n} }$
Оба ряда исследуем на сходимость применяя радикальный признак Коши.
Если $lim_{n to infty} sqrt[n]{a_n} textless 1$ , то числовой ряд сходится.
Положительный ряд
$lim_{n to infty} sqrt[n]{ frac{1}{4^n} }= frac{1}{4} textless 1$
Следовательно первый ряд сходится
Второй ряд знакопеременный так как при четных значениях n значения ряда положительные при нечетных значениях n значения ряда отрицательные. Данный ряд сходится если сходится такой же полностью положительный ряд. Сходимость положительного ряда докажем аналогично предыдущему ряду.
$lim_{n to infty} sqrt[n]{ frac{1}{3^n} }= frac{1}{3} textless 1$
Из сходимости положительного ряда следует сходимость знакопеременного ряда.
Следовательно из сходимости двух рядов следует сходимость суммы этих рядов или исходного ряда.

Найдем суммы этих рядов представляющих собой бесконечную геометрическую прогрессию.
$S = frac{b_1}{1-q}$
Для первого ряда
$S = frac{ frac{1}{4} }{1- frac{1}{4} }= frac{1}{3}$
Для второго ряда
$S = frac{ frac{-1}{3} }{1- frac{1}{3} }= -frac{1}{4}$
Находим сумму исходного ряда
$S= frac{1}{3}- frac{1}{4} = frac{1}{12}$

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Английский язык, автор: comf003128

Please help me with English❤

6 лет назад

Предмет: Информатика, автор: ganizambyrhan07

Напишите программу на C ++ для расчета объема цилиндра. (процедура/функция )

6 лет назад

Предмет: Физика, автор: tansuuqa1997

вычислить скорость движения тела массой 8 кг , затрачивает кинетическую энергию равное 56 ДЖ

6 лет назад