Предмет: Математика, автор: Grigoryan85

Докажите тождества
Cn^1+2Cn^2+…+nCn^n=2^n-1

Ответы

Автор ответа: Аноним

8

Тождество неверное. Скорее уж будет так

$C^1_n+2C_n^2+...+nC^n_n=n\cdot 2^{n-1}$

$C^1_n+2C^2_n+...+nC^n_n=\sum^{n}_{k=1}k\cdot C^k_n$

Пользуясь свойством $\sum^{n}_{k=0}k\cdot C^k_n=n\cdot 2^{n-1}$ , мы имеем

$\sum^n_{k=1}k\cdot C^k_n=n\cdot 2^{n-1}$

Можно доказать без всяких свойств чисел сочетаний. По формуле бинома Ньютона $n\cdot 2^{n-1}=n\cdot (1+1)^{n-1}=n\cdot \sum^{n-1}_{p=0}C^p_{n-1}$ . В свою очередь при любом p выполняется равенство:

$n\cdot C^p_{n-1}=\frac{n(n-1)}{p!(n-1-p)!}\cdot \frac{p+1}{p+1}=\frac{n!(p+1)}{(p+1)![n-(p+1)]!}=(p+1)C^{p+1}_n$

Следовательно, $n\cdot 2^{n-1}=\sum^{n-1}_{p=0}(p+1)C^{n+1}_n$ . Преобразим индекс суммирования, положив $p+1=k$ . Имеем:

$\sum^{n-1}_{p=0}(p+1)C^{p+1}_n=\sum^{n}_{k=1}kC^k_n$

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Английский язык, автор: vn1035vx

Work in groups. Act out the situation.
You have got an English-speaking visitor in your class. Interview him / her about his / her life, hobbies and family.

2 года назад

Предмет: Русский язык, автор: Алинчик144

как будет фонетический Набрёл

2 года назад

Предмет: Другие предметы, автор: pashe11

Французский язык. Номер 10

2 года назад

Предмет: География, автор: SELENATORnatasha

Какие отрасли позволяют стране включаться в международное разделение труда?
А). отрасли ТЭК
Б). отрасли добывающей промышленности
В). отрасли, продукция которых сразу расходится среди потребителей
Г). отрасли международной специализации

8 лет назад

Предмет: Математика, автор: Аноним

реши спомощью уравнения купила 4 пакета вишнёвого с по 130 тенге и коробку конфет . за всю покупку за 1100 тенге . сколько стоит коробка конфет

8 лет назад