Предмет: Геометрия, автор: darya25975

В параллелограмме ABCD, одна из сторон которого вдвое
больше другой, лежат две окружности, касающиеся друг друга и трёх
сторон параллелограмма.
б) Найдите площадь параллелограмма, если AC =4

cos20093: это может быть только прямоугольник

cos20093: раз это "студенческий" уровень :), то - точка касания окружностей это центр гомотетии с коэффициентом -1.

cos20093: Поэтому это центр параллелограмма, а это может быть только если это прямоугольник - чтобы две окружности касались в центре.

orjabinina: )))

cos20093: ну, на самом деле это не так, конечно :) если провести общую касательную в точке их касания, она будет перпендикулярна линии центров, а значит делит параллелограмм на 2 одинаковых прямоугольных трапеции. У каждой из них сумма оснований в 2 раза больше боковой стороны - той, которая заодно и сторона параллелограмма.

cos20093: Эта сторона будет (x+y)/2, где x и y - основания трапеции. Но так как она описанная, вторая её боковая сторона, она же - высота, тоже будет (x+y)/2;

cos20093: то есть это одновременно описанная прямоугольная трапеция и параллелограмм. То есть квадрат. А весь параллелограмм само собой прямоугольник.

cos20093: точнее, это описанная равнобедренная прямоугольная трапеция :)))

Ответы

Автор ответа: siestarjoki

Окружности заключены между параллельными, следовательно их диаметры равны расстоянию между параллельными.

Окружности лежат внутри параллелограмма, следовательно заключены между большими сторонами.

Центры равноудалены от больших сторон => линия центров параллельна большим сторонам параллелограмма.

Данный параллелограмм можно разделить на два ромба.

В ромб можно вписать окружность.

Окружности касаются => внутренняя касательная перпендикулярна линии центров, а значит и большим сторонам параллелограмма.

Ромб с перпендикулярными сторонами - квадрат.

Искомая площадь равна двум квадратам со стороной x.

По теореме Пифагора x=4/√5

S =2*16/5 =6,4

Приложения:

orjabinina: Здорово

cos20093: Если убрать условие что одна сторона в 2 раза больше другой, то это может быть и не прямоугольник. Две окружности, касающиеся друг друга, можно вписать в параллелограмм. На вашей первой картинке можно убрать внутреннюю касательную и сдвигать окружности, пока они не коснутся. Прямоугольник возникает именно потому, что задано соотношение сторон 1:2, при этом высота равна меньшей стороне.

siestarjoki: согласен, около двух касающихся окружностей можно описать параллелограмм

siestarjoki: причем любой площади при данной диагонали

siestarjoki: но если параллелограмм составлен из двух ромбов, то вписанные окружности ромбов будут касаться, только если ромбы - квадраты.

cos20093: можно и так рассуждать