Радіус основи конуса дорівню 4 ем, а твірна утво з площиною основи кут 30°. Знайдіть:
1) висоту і твірну конуса;
2) площу осьового перерізу конуса.

Ответ:

1) Щоб знайти висоту конуса, можемо скористатися теоремою Піфагора. Трикутник утворений радіусом основи, висотою і твірною конуса є прямокутним трикутником. За теоремою Піфагора:

висота^2 + (радіус основи)^2 = твірна^2.

Підставивши відомі значення:

висота^2 + 4^2 = твірна^2,

висота^2 + 16 = твірна^2.

Також зазначено, що твірна утворює кут 30° з площиною основи. Це означає, що висота, твірна і радіус основи утворюють прямокутний трикутник і кут між висотою і твірною дорівнює 90° - 30° = 60°.

Таким чином, ми маємо прямокутний трикутник зі сторонами висота, твірна і радіус основи, де кут між висотою і твірною дорівнює 60°.

Для знаходження висоти можемо скористатися формулою для sin 60°:

sin 60° = висота / твірна.

sin 60° = √3 / 2,

√3 / 2 = висота / твірна.

Множимо обидві частини рівняння на твірну:

√3 / 2 * твірна = висота.

Щоб знайти твірну, можемо скористатися формулою для cos 60°:

cos 60° = (радіус основи) / твірна.

cos 60° = 1 / 2,

1 / 2 = (радіус основи) / твірна.

Множимо обидві частини рівняння на твірну:

1 / 2 * твірна = радіус основи,

твірна = 2 * радіус основи.

Замінюємо вираз для твірної у формулі для висоти:

√3 / 2 * (2 * радіус основи) = висота.

√3 * радіус основи = висота.

Отже, ми отримали наступні відповіді:

1) Висота конуса: √3 * радіус основи.

Твірна конуса: 2 * радіус основи.

2) Площа осьового перерізу конуса: Щоб знайти площу осьового перерізу, нам потрібно знайти площу кола, обмеженого основою конуса. Формула для площі кола:

Площа = π * (радіус)^2.

Радіус основи конуса = 4 ем,

Площа = π * (4 ем)^2.

Отже, площа осьового перерізу конуса: π * 16 ем^2.