Предмет: Математика, автор: westernqu

Решить дифференциальное уравнение второго порядка : y''=(y'/x)+(x^2/y')

Ответы

Автор ответа: MrSolution

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$y''=\dfrac{y'}{x}+\dfrac{x^2}{y'}$

Замена: $y'=k,\;y''=k'$ .

$k'=\dfrac{k}{x}+\dfrac{x^2}{k},\;\Rightarrow\;k'-\dfrac{1}{x}k=\dfrac{x^2}{k}$

Получили уравнение Бернулли.

Замена: $k=uv,\;k'=u'v+uv'$ , где $u=u(x),\;v=v(x)$ .

$u'v+uv'+\dfrac{1}{x}uv=\dfrac{x^2}{uv}\\u'v+u\left(v'+\dfrac{1}{x}v\right)=\dfrac{x^2}{uv}\;\;\;(*)$

$v'+\dfrac{1}{x}v=0,\;\Rightarrow\;\dfrac{dv}{v}=\dfrac{dx}{x}$

Выбираем $v=x$ и подставляем в (*).

$u'x=\dfrac{x}{u},\;\Rightarrow\;u'=\dfrac{1}{u},\;\Rightarrow\;x+C_0=\dfrac{u^2}{2},\;\Rightarrow\;u=\pm\sqrt{2x+C_1}$

Обратная замена:

$k=uv=\pm x\sqrt{2x+C_1}$

Обратная замена:

$y'=\pm x\sqrt{2x+C_1},\;\Rightarrow\;y=\pm\int x\sqrt{2x+C_1}\,dx$

В интеграле делаем замену:

$t=2x+C_1,\;\Rightarrow\;x=\dfrac{t-C_1}{2},\;dx=\dfrac{dt}{2}$

Тогда:

$y=\pm\int \dfrac{t-C_1}{2}\cdot\sqrt{t}\cdot\dfrac{1}{2}\,dt=\pm\dfrac{1}{4}\int t^{3/2}-C_1t^{1/2}\,dt=\pm\dfrac{t^{5/2}}{10}\mp\dfrac{C_1t^{3/2}}{6}+C_2$

Обратная замена:

$y=\pm\dfrac{1}{10}\cdot\left(2x+C_1\right)^{5/2}\mp\dfrac{1}{6}\cdot C_1\left(2x+C_1\right)^{3/2}+C_2$

Уравнение решено!

IUV: автор ответа регулярно хвалит свои ответы.
как минимум это нескромно, как максимум - мания величия.

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Физика, автор: ruslan8580

21 If you measured the distance travelled by a snail
in inches and the time it took in minutes, what
would be the units of its speed?

1 год назад

Предмет: Українська мова, автор: tovmageorge

1 год назад

Предмет: Українська література, автор: Аноним

Чи могла б трагікомедія Івана-Карпенка Карого «Мартин Боруля» мати інший фінал? Пофантазуйте який.

1 год назад

Предмет: Химия, автор: afilley

Напишите уравнения реакций взаимодействия кислоты с Na и этиловым спиртом.

7 лет назад

Предмет: Русский язык, автор: rvarr

Сейчас Пушкина читают мало — и это, конечно, плохо. Но неужели в XIX веке его читали больше? Пушкина читали немногие по причине неграмотности большинства жителей России. Но все же именно образованная часть населения всегда определяла вектор культурного развития всего народа. И потом, имя Пушкина было тогда популярным даже в среде людей малограмотных и вовсе не знакомых с его творчеством.
Популярность эта возникла сказочным образом, появился ряд «мифов о Пушкине». Среди неграмотных людей в России бытовали слухи о Пушкине как о народном герое. Говорили, что именно он посоветовал царю освободить крестьян, поскольку царь прислушивался к его мнению. По второй версии, Пушкин умер не на дуэли, а… в темнице, закованный в цепи за стремление освободить крепостных крестьян. Были и совершенно сказочные истории о том, что Пушкин живет в глухом лесу и иногда выходит на опушку, где поет свои то ли стихи, то ли песни. Такой вот образ поющего лешего. Но другие слухи гласили, что Пушкин не леший, а наоборот — Божий угодник.
В советское время, в эпоху всеобщей грамотности, ситуация, разумеется, изменилась. Французским крестьянам и советским колхозникам был задан вопрос: кто самый главный поэт их народа. Ответы русских были просты и очевидны: главный поэт — Пушкин. А у французов главного поэта нации определить не получилось. Поэтому я всегда говорю, что Пушкин — это наш национальный миф. Миф не как сказка, а как сосредоточение важнейших национальных ценностей и смыслов.
Сейчас бытует мнение, что Пушкин устарел и не отвечает чаяниям современного читателя. Причем так думают люди, плохо знающие творчество Александра Сергеевича.
Очень жаль, что современные мальчики и девочки, такие умные, талантливые, могут лишить себя этого бесценного дара — классической русской литературы, которую наше поколение сумело сохранить и пронести сквозь все ужасы истории XX века.
Мне не Пушкина сейчас жалко. Безумно жалко людей, которые растут и живут без него. Потому что они теряют такие ценности, без которых человеку очень трудно оставаться человеком. Очень прошу, сократите изложение, скоро экзамен, маил ответ не скидывайте, за ранее спасибо

7 лет назад